दूसरे रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में टेंसर उत्पादों को पढ़ाना

मैं रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम के दूसरे वर्ष में टेंसर उत्पादों को पेश करना चाहता हूं। जनसांख्यिकी विशिष्ट है: गणित, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान आदि के छात्र, जिनके पास पहले से ही रैखिक प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करने वाला पाठ्यक्रम था। पाठ्यक्रम भी विशिष्ट है: हम रैखिक बीजगणित का सही तरीके से पालन करेंगे, वेक्टर रिक्त स्थान की मूल बातें, फिर ईजेनथिंग्स/विकर्णीकरण + आंतरिक उत्पादों पर छंद लगाएंगे। हम भागफल रिक्त स्थान को छोड़ देते हैं।

हालाँकि, यह विशिष्ट पाठ्यक्रम टेंसर उत्पादों को कवर नहीं करता है। शुद्ध गणित, क्वांटम मैकेनिकल उलझाव, विभेदक ज्यामिति में वेक्टर फ़ील्ड, कई सीएस अनुप्रयोगों (विशेष रूप से मशीन लर्निंग) आदि में सर्वव्यापी अनुप्रयोगों के कारण, अलग-अलग करने का मामला मजबूत है (बाद वाला इसे अन्य सभी लागू विज्ञानों के लिए भी उचित ठहराता है) ).

मैं टेंसर पेश करने के दो सामान्य तरीके देखता हूं: या तो इस स्तर के लिए एक बिल्कुल अमूर्त लेंस के माध्यम से (सार्वभौमिक संपत्ति, द्विरेखीय रूप, और फिर $V\otimes W$ के लिए एक प्रस्तुति), या एक अत्यंत आधार-उन्मुख दृष्टिकोण जो टेंसरों को उनके उत्पाद के लिए एक निश्चित नियम का पालन करते हुए बहुआयामी सरणियों के रूप में वर्णित करता है, जैसे कि। मुझे लगता है कि इनके बीच का एक रास्ता होना चाहिए जिससे रैखिक बीजगणित में दूसरा कोर्स करने वाले छात्रों को फायदा हो सके।

मुझे हेल्मोस की परिमित आयामी वेक्टर स्पेस पुस्तक में दी गई परिभाषा विशेष रूप से पसंद है; वेक्टर रिक्त स्थान $U$ और $V$ के टेंसर उत्पाद को $\mathcal{B}(U, V)^*$ के रूप में परिभाषित किया गया है, द्विरेखीय स्थान का दोहरा स्थान $U$ और $V$ पर बनता है।< br>
ऐसा निर्माण बहुत ठोस है, यह अनिवार्य रूप से तत्काल है कि यह सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है, यह भी तत्काल है कि $U \otimes V$ का आयाम $\dim U \cdot \dim V$ है, लेकिन इसे परिभाषित करने के लिए स्पष्ट रूप से $U$ या $V$ के लिए आधारों की आवश्यकता नहीं है (इसलिए कोई "अच्छी तरह से परिभाषित" प्रश्न नहीं है), न ही इसे "औपचारिक रैखिक संयोजन" का क्या अर्थ है या आप इसे आसानी से क्यों मान सकते हैं, इसके बारे में किसी भी प्रश्न की आवश्यकता नहीं है। द्विरेखीयता संबंध"।

मुझे यह भी पसंद है कि यह आम "भौतिकविदों" के दृष्टिकोण के साथ बहुत अच्छी तरह से मेल खाता है, कि वैलेंस $(k, l)$ का एक टेंसर $k$ का एक बहु-रैखिक कार्य है कोवेक्टर और $l$ वैक्टर (जो स्वाभाविक रूप से "संख्याओं के बहुआयामी सरणी" विचार की ओर ले जाते हैं, बस एक आधार चुनकर)।

इस दृष्टिकोण के साथ सबसे बड़ी सूक्ष्मता यह है कि इसमें दोहरे स्थानों के साथ सहज होने की आवश्यकता होती है, जिसे आप कवर नहीं कर सकते हैं, और यह स्वयं एक ऐसा विषय है जिसे छात्र हमेशा अच्छी तरह से नहीं समझते हैं।

मुझे लगता है कि यह वास्तव में गणितीय नींव में एक दिलचस्प अंतर की ओर इशारा करता है। मेरे लिए टेंसर उत्पाद का वर्णन करने का सबसे साफ-सुथरा तरीका बस निम्नलिखित है:

इसके लिए सार्वभौमिक गुणों के बारे में कुछ भी कहने या मुक्त वेक्टर रिक्त स्थान का उपयोग करके टेंसर उत्पाद का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं है, जिस पर मुझे संदेह है अंततः मूलभूत मुद्दों से निपटने के लिए एक हैक है: क्या आपको यह सुरुचिपूर्ण नहीं लगता कि दो परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों $V, W$ के टेंसर उत्पाद का निर्माण करने के लिए, जो कि परिमित-आयामी भी है, हमें पहले इसे पास करना होगा एक अत्यंत अनंत-आयामी मध्यवर्ती वेक्टर स्थान $F(V \times W)$, इसे एक अत्यंत अनंत-आयामी उप-स्थान द्वारा उद्धृत करने से पहले? यह मध्यवर्ती स्थान कई छात्रों के लिए बहुत भ्रमित करने वाला है और हम इसे वैसे भी तुरंत त्याग देते हैं। तो क्या ऐसा दृष्टिकोण ढूंढना बेहतर नहीं होगा जो इससे बचता हो?

इसके बजाय उपरोक्त दृष्टिकोण के लिए सेट क्या है, इसकी हमारी अवधारणा को बदलना आवश्यक है। अर्थात्, हमें बिशप सेट का उपयोग करने की आवश्यकता है। nLab को उद्धृत करते हुए:

(बिशप) में सेट की धारणा को यह कहकर निर्दिष्ट किया गया है कि एक सेट को इस सेट के तत्वों का निर्माण कैसे करें और समानता का एक द्विआधारी संबंध देकर विवरण दिया जाना चाहिए, जो एक तुल्यता संबंध होना चाहिए।

यह वही है जो हमने ऊपर किया है: हमने वर्णन किया है कि टेंसर उत्पाद के तत्वों का निर्माण कैसे किया जाए और हमने वर्णन किया है कि टेंसर उत्पाद के दो तत्वों के लिए इसका क्या अर्थ है समान हो. इसलिए हमने एक बिशप सेट बनाया है। यदि आप चाहें, तो यह दो-चरणीय निर्माण को संक्षिप्त करने का एक तरीका है (पहले $F(V \times W)$ का निर्माण करें, फिर स्वयंसिद्ध उप-स्थान द्वारा भागफल का निर्माण करें) (इसलिए हम n